题目内容

已知三棱锥P—ABC中，PA、PB、PC与底面ABC成等角，∠CAB=90°，AB=AC，点D是BC的中点，E为PB上的点，PC∥截面DAE.

（1）求证：面PBC⊥底面ABC；

（2）若AB=PB，求AE与底面ABC所成角的正弦值；

 

答案：
解析：

解：要证明平面与平面垂直，只需证明一个平面经过另一个平面的垂线.

（1）过点P作PO⊥底面ABC于O，连结AO、BO、CO，

则∠PAO=∠PBO=∠PCO，PA=PB=PC，AO=BO=CO，

∴O是△ABC的外心.

∵∠CAB=90°，AB=AC，∴△ABC的外心是BC的中点.  ∴O与D重合.

∵PO⊥底面ABC，即PD⊥底面ABC，又PD面PBC，∴面PBC⊥底面ABC；

（2）∵PC∥截面DAE，∴PC∥DE.

∵D是BC的中点，∴E是BC的中点.

过点E作EF⊥BC于F，连结AF，则EF⊥底面ABC，EF∥PD，∠EAF是AE与底面ABC所成　　    的角.

∵E是PB的中点，∴F是BD的中点.

在Rt△AEF中，

.

∴.

∴AE与底面ABC所成角的正弦值为.

 


练习册系列答案
相关题目
已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA，PB，PC两两相互垂直，且PA=2
3
，PB=3，PC=2外接球的直径等于
 
．
已知三棱锥P-ABC中，PC⊥底面ABC，AB=BC，D、F分别为AC、PC的中点，DE⊥AP于E．
（Ⅰ）求证：AP⊥平面BDE；
（Ⅱ）若AE：EP=1：2，求截面BEF分三棱锥P-ABC所成上、下两部分的体积比．
如图，已知三棱锥P-ABC，∠ACB=90°，CB=4，AB=20，D为AB中点，M为PB的中点，且△PDB是正三角形，PA⊥PC．
（I）求证：DM∥平面PAC；
（II）求证：平面PAC⊥平面ABC；
（Ⅲ）求三棱锥M-BCD的体积．
（2009•河西区二模）如图，已知三棱锥P-ABC中，PA⊥面ABC，其中正视图为Rt△PAC，AC=2
6
，PA=4，俯视图也为直角三角形，另一直角边长为2
2
．
（Ⅰ）画出侧视图并求侧视图的面积；
（Ⅱ）证明面PAC⊥面PAB；
（Ⅲ）求直线PC与底面ABC所成角的余弦值．
（2009•黄浦区二模）已知三棱锥P-ABC的棱长都是2，点D是棱AP上不同于P的点．
（1）试用反证法证明直线BD与直线CP是异面直线．
（2）求三棱锥P-ABC的体积VP-ABC．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网