题目内容

已知椭圆E的中心在坐标原点O，经过两点A(1，
2
5
5
)，B(-2，
5
5
).圆C以点（2，0）为圆心，椭圆的短半袖长为半径．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）若点P是圆C上的一个动点，求
CP
•
OP
的取值范围．
（1）设椭圆E的标准方程为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，且m≠n）．
因为A(1，
2
5
5
)，B(-2，
5
5
)在椭圆E上，所以
m+
4
5
n=1
4m+
1
5
n=1

解得m=
1
5
，n=1，满足条件
所以所求椭圆E的标准方程为
x2
5
+y2=1.
（2）由（1）知椭圆的短半轴长为1，所以圆心坐标为（2，0），半径r=1，
故圆C的方程为（x-2）2+y2=1．
设P（x，y），则
CP
=(x-2，y)，
OP
=(x，y)，
所以
CP
•
OP
=x(x-2)+y2=x2+y2-2x=2x-3.
因为（x-2）2+y2=1，所以（x-2）2≤1，即-1≤x-2≤1，得1≤x≤3．
所以-1≤2x-3≤3，即
CP
•
OP
的取值范围为[-1，3]．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过A(-2，0)，B(2，0)，C(1，
32
)三点
（1）求椭圆方程
（2）若此椭圆的左、右焦点F1、F2，过F1作直线L交椭圆于M、N两点，使之构成△MNF2证明：△MNF2的周长为定值．
已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过A（-2，0）、B（2，0）、C(1，
32
)三点．
（1）求椭圆E的方程：
（2）若点D为椭圆E上不同于A、B的任意一点，F（-1，0），H（1，0），当△DFH内切圆的面积最大时．求内切圆圆心的坐标．
（2013•闵行区二模）已知椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，且经过M(2，1)，N(2
2
，0)两点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若平行于OM的直线l在y轴上的截距为b（b＜0），直线l交椭圆E于两个不同点A、B，直线MA与MB的斜率分别为k1、k2，求证：k1+k2=0．
已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过A（-2，0）、B（2，0）、C(1，
32
)三点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若点D为椭圆E上不同于A、B的任意一点，F（-1，0），H（1，0），当△DFH内切圆的面积最大时，求内切圆圆心的坐标；
（3）若直线l：y=k（x-1）（k≠0）与椭圆E交于M、N两点，证明直线AM与直线BN的交点在定直线上并求该直线的方程．
已知椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，且经过M(2，1)、N(2
2
，0)两点，P是E上的动点．
（1）求|OP|的最大值；
（2）若平行于OM的直线l在y轴上的截距为b（b＜0），直线l交椭圆E于两个不同点A、B，求证：直线MA与直线MB的倾斜角互补．

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