Question

已知函数f（x）=alnx-bx²图象上一点P（2，f（2））处的切线方程为y=-3x+2ln2+2．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若方程f（x）+m=0在内有两个不等实根，求m的取值范围（其中e为自然对数的底数）；
（Ⅲ）令g（x）=f（x）-kx，若g（x）的图象与x轴交于A（x₁，0），B（x₂，0）（其中x₁＜x₂），AB的中点为C（x，0），求证：g（x）在x处的导数g′（x）≠0．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）只需要利用导数的几何意义即可获得两个方程解得两个未知数；
（Ⅱ）先要利用导数研究好函数h（x）=f（x）+m=2lnx-x²+m，的单调性，结合单调性及在内有两个不等实根通过数形结合易知m满足的关系从而问题获得解答；
（Ⅲ）用反证法现将问题转化为有关方程根的形式，在通过研究函数的单调性进而通过最值性找到矛盾即可获得解答．
解答：解：（Ⅰ）f′（x）=-2bx，，f（2）=aln2-4b．
∴，且aln2-4b=-6+2ln2+2．
解得a=2，b=1．
（Ⅱ）f（x）=2lnx-x²，令h（x）=f（x）+m=2lnx-x²+m，
则，
令h′（x）=0，得x=1（x=-1舍去）．
在内，
当时，h′（x）＞0，
∴h（x）是增函数；
当x∈[1，e]时，h′（x）＜0，
∴h（x）是减函数，
则方程h（x）=0在内有两个不等实根的充要条件是：

即．
（Ⅲ）g（x）=2lnx-x²-kx，．
假设结论成立，则有：

①-②，得．
∴．
由④得，
∴
即，即．⑤
令，（0＜t＜1），
则＞0．
∴u（t）在0＜t＜1上增函数，
∴u（t）＜u（1）=0，
∴⑤式不成立，与假设矛盾．
∴g'（x）≠0．
点评：本题考查的是函数与方程以及导数知识的综合应用问题．在解答的过程当中充分体现了函数与方程的思想、数形结合的思想、问题转化的思想以及反证法．值得同学们体会反思．