Question

已知实数x，y满足

y≥2 x+y+4≥0 x-y-2≤0

，则|

y

x

|的最小值为

1

3

．

Answer 1

分析：根据题意作出不等式组对应的平面区域，为图中阴影部分，设P（x，y）是区域内一个动点，得

y

x

=K_OP是原点与P点连线的斜率．运动P点并观察斜率的变化，可得得

y

x

≥

1

2

或

y

x

≤-

1

3

，从而得到当且仅当P与A重合时，|

y

x

|的最小值为

1

3

．

解答：解：设直线l₁：y=2，l₂：x+y+4=0，l₃：x-y-2=0
作出三条直线在坐标系内的图形如右图，设点A、B分别是
l₁、l₂的交点和l₁、l₃的交点
可得不等式组

y≥2 x+y+4≥0 x-y-2≤0

表示的平面区域是在l₂和l₃的上方，且在线段AB上方的阴影部分
设P（x，y）是区域内一个动点，由

y

x

=K_OP，
是原点与P点连线的斜率，
将P点在区域内运动，可得当P在第一象限内运动时，K_OP为正数，当P与B重合时，K_OP达到最小值
当P在第二象限内运动时，K_OP为负数，当P与A重合时，K_OP达到最大值
∵l₁、l₂的交点A（-6，2），l₁、l₃的交点B（4，2）
∴OA的斜率K₁=

2

-6

=-

1

3

，OB的斜率K₂=

2

4

=

1

2

．
由此可得

y

x

≥

1

2

或

y

x

≤-

1

3

，取绝对值，得|

y

x

|≥

1

3

，最小值为

1

3

当且仅当P与A重合时，|

y

x

|的最小值为

1

3

故答案为：

1

3

点评：本题给出不等式组表示的平面区域，求区域内一点纵坐标与横坐标比值的绝对值最小值，考查了直线的斜率和二元一次不等式组表示平面区域等知识点，属于基础题．