Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，已知BD=2AD=2PD=8，AB=2DC=4

5

．
（1）设M是PC上一点，证明：平面MBD⊥平面PAD；
（2）若M是PC的中点，求棱锥P-DMB的体积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先由线面垂直得到面面垂直，在根据解三角形得到BD⊥平面PAD与平面ABCD的交线AD，得到BD⊥平面PAD，然后由面面垂直的判定得结论；
（Ⅱ）利用M是PC的中点，把棱锥P-DMB的体积转化为棱锥C-DMB的体积，然后利用等积法求解．

解答：（I）证明：如图，
由PD⊥平面ABCD，PD?平面PAD，∴平面PAD⊥平面ABCD，
在△ABD中，由于AD=4，BD=8，AB=4

5

，
所以AD²+BD²=AB²．故AD⊥BD．
BD?平面ABCD，所以BD⊥平面PAD，
又BD?平面MBD，故平面MBD⊥平面PAD；
（II）解：过M作MN⊥DC于N，
∵M是PC的中点，∴MN=

1

2

PD=2
∵AB∥DC，∴∠ABD=∠BDC，
∴sin∠BDC=sin∠ABD=

AD

AB

=

5

5

．
∴S△BDC=

1

2

BD•DC•sin∠ABD=

1

2

×8×2

5

×

5

5

=8
∴V_P-DMB=V_C-DMB=V_M-DBC=

1

3

S△BDC•MN=

16

3

．

点评：本题考查了平面与平面垂直的判定，考查了棱锥体积的求法，训练了“等积法”，是中档题．