Question

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₄=-3，S₅=-25，
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{|a_n|}的前20项和T₂₀．

Answer 1

分析：（1）依题意，列方程组

a1+3d=-3 5a1+10d=-25

，解得首项a₁与公差d，即可求得数列{a_n}的通项公式；
（2）由（1）知a_n=2n-11，当n≤5时，a_n＜0；当n≥6时，a_n＞0，于是可求得T₂₀=|a₁|+|a₂|+…+|a₂₀|=-2（a₁+a₂+…+a₅）+（a₁+a₂+…+a₅+a₆+a₇+…+a₂₀），从而利用等差数列的求和公式即可得到答案．

解答：解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，则由条件得

a1+3d=-3 5a1+10d=-25

，…（4分）
解得

a1=-9 d=2

，…（6分）
所以{a_n}通项公式a_n=-9+2（n-1），即a_n=2n-11．…（7分）
（2）令2n-11≥0，解得n≥

11

2

，…（8分）
∴当n≤5时，a_n＜0；当n≥6时，a_n＞0，…（9分）
∴T₂₀=|a₁|+|a₂|+…+|a₂₀|=-（a₁+a₂+…+a₅）+a₆+a₇+…+a₂₀…（10分）
=-2（a₁+a₂+…+a₅）+（a₁+a₂+…+a₅+a₆+a₇+…+a₂₀）
=-2S₅+S₂₀…（12分）
=-2[5×（-9）+

5×4

2

×2]+[20×（-9）+

20×19

2

×2]
=250．…（14分）

点评：本题考查等差数列的前n项和，考查方程思想与等价转化思想的应用，（2）中求得T₂₀=-2S₅+S₂₀是关键，也是难点，考查推论分析与运算能力，属于中档题．