Question

已知双曲线的中心在原点，右顶点为A（1，0），点P、Q在双曲线的右支上，点M（m，0）到直线AP的距离为1，
（Ⅰ）若直线AP的斜率为k，且|k|∈，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）当m=+1时，△APQ的内心恰好是点M，求此双曲线的方程。

Answer 1

解：(Ⅰ)由条件得直线AP的方程y=k（x-1）（k≠0），即kx-y-k=0，
又因为点M到直线AP的距离为1，
所以，得，
∵，
∴，解得+1≤m≤3或-1≤m≤1-，
∴m的取值范围是。
(Ⅱ)可设双曲线方程为，
由，得，
又因为M是ΔAPQ的内心，M到AP的距离为1，所以∠MAP=45°，
直线AM是∠PAQ的角平分线，且M到AQ、PQ的距离均为1，
因此，（不妨设P在第一象限）
直线PQ方程为，
直线AP的方程y=x-1，
∴解得P的坐标是（2+，1+），
将P点坐标代入得，
所以所求双曲线方程为，即。