Question

在△ABC中，cos²

A

2

=

b+c

2c

=

9

10

，c=5，求△ABC的内切圆半径．

Answer 1

分析：把c的值代入已知的等式求出b的值，然后利用二倍角的余弦函数公式化简已知等式，表示出cosA，再利用余弦定理表示出cosA，两者相等，化简后得到a²+b²=c²，根据勾股定理的逆定理可得三角形ABC为直角三角形，由b和c的值，利用勾股定理求出a的值，然后利用周长的一半即可求出三角形内切圆的半径．

解答：解：∵c=5，

b+c

2c

=

9

10

，∴b=4，
又cos2

A

2

=

1+cosA

2

=

b+c

2c

，
∴cosA=

b

c

，
由余弦定理得cosA=

b2+c2-a2

2bc

，
则

b2+c2-a2

2bc

=

b

c

，
∴b²+c²-a²=2b²，即a²+b²=c²，
∴△ABC是以角C为直角的三角形，
根据勾股定理得a=

c2-b2

=3，
则△ABC的内切圆半径r=

1

2

（a+b+c）=1．

点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有二倍角的余弦函数公式，余弦定理，以及勾股定理和逆定理，解此类题往往根据定理及公式建立已知与未知之间的联系，从而求出三角形中未知的量，达到解三角形的目的，化简已知的等式表示出cosA是本题的突破点，熟练掌握定理是解本题的关键．