Question

已知在递增等差数列{a_n}中，a₁=2，a₁，a₃，a₇成等比数列数列{b_n}的前n项和为S_n，且Sn=2n+1-2．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）设cn=abn，求数列{c_n}的前n和T_n．

Answer 1

分析：（1）由已知可得，a32=a1a7，结合等差数列的通项公式可求公差d，进而可求a_n，；利用递推公式b₁=s₁，b_n=s_n-s_n-1（n≥2）可求b_n
（2）利用分组求和，结合等差与等比数列的求和公式即可求和

解答：解：∵a₁=2，a₁，a₃，a₇成等比数列
∴a32=a1a7
设等差数列的公差d，则（2+2d）²=2（2+6d），d＞0
∴d=1，a_n=n+1
∵Sn=2n+1-2．
∴b₁=s₁=2
b_n=s_n-s_n-1=2ⁿ⁺¹-2-2ⁿ+2=2ⁿ（n≥2）
当n=1时也适合
∴b_n=2ⁿ
（2）∵cn=abn=2ⁿ+1
∴Tn=(2+1)+(22+1)+…+(2n+1)
=（2+2²+2³+…+2ⁿ）+（1+1+1+…+1）
=

2(1-2n)

1-2

+n
=2ⁿ⁺¹-2+n

点评：本题主要考查了等比数列的性质，等差 数列的通项公式的应用，及数列的递推公式在求解数列的通项公式中的应用，分组求和方法的应用及等比数列的求和公式的应用