题目内容

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且 $数学公式$ （n∈N^）．数列{b_n}是等差数列，且b₂=a₂，b₂₀=a₄．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列 $数学公式$ 的前n项和T_n；若不等式T_n＞log_ax（a＞0且a≠1）对一切n∈N^恒成立，求实数x的取值范围．

解：（Ⅰ）由 $\text{[math]}$ ，①当n≥2时， $\text{[math]}$ ，②
两式相减得 $\text{[math]}$ ，即a_n=3a_n-1-2．当n≥2时， $\text{[math]}$ 为定值，
由 $\text{[math]}$ ，令n=1，得a₁=-2．所以数列{a_n-1}是等比数列，公比是3，首项为-3．
所以数列{a_n}的通项公式为a_n=1-3ⁿ．（4分）
（Ⅱ）∴b₂=-8，b₂₀=-80．由{b_n}是等差数列，求得b_n=-4n．
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
而 $\text{[math]}$ ，相减得 $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．　（8分）
∵ $\text{[math]}$ ，
故{Tn}递增∴当n∈N^*时，T_n的最小值为 $\text{[math]}$ （10分）
∵不等式T_n＞log_ax（a＞0且a≠1）对一切n∈N^*恒成立∴ $\text{[math]}$ ．
故当a＞1时，0＜x $\text{[math]}$ ；（11分）当0＜a＜1时， $\text{[math]}$ ．（12分）
分析：（Ⅰ）由 $\text{[math]}$ ，知 $\text{[math]}$ ，两式相减得 $\text{[math]}$ ，由此能够导出数列{a_n-1}是公比是3，首项为-3的等比数列．从而能够得到数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）由{b_n}是等差数列，求得b_n=-4n． $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，再由错位相减法能够得到数列 $\text{[math]}$ 的前n项和T_n．
由 $\text{[math]}$ ，知{Tn}递增，且T_n的最小值为 $\text{[math]}$ ．由不等式T_n＞log_ax（a＞0且a≠1）对一切n∈N^*恒成立，知 $\text{[math]}$ ．由此能求出实数x的取值范围．
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地运用错位相减法进行解题．