Question

已知函数f（x）=

1

x+1

（1）证明：f（x）在区间（-1，+∞）上单调递减；
（2）若f（x）≤a在区间[0，+∞）上恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设-1＜x₁＜x₂，根据减函数的定义，只需通过作差说明f（x₁）＞f（x₂）即可；
（2）f（x）≤a在区间[0，+∞）上恒成立，等价于x∈[0，+∞）时f（x）_max≤a，借助（1）问函数的单调性可求其最大值．

解答：（1）证明：设-1＜x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=

1

x1+1

-

1

x2+1

=

x2-x1

(x1+1)(x2+1)

．
因为-1＜x₁0，x₂+1＞0，
所以f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
所以函数f（x）=

1

x+1

在（-1，+∞）上单调递减．
（2）解：f（x）≤a在区间[0，+∞）上恒成立，等价于x∈[0，+∞）时f（x）_max≤a，
由（1）知，f（x）在[0，+∞）上单调递减，所以f（x）_max=f（0）=1，
所以有a≥1，即a的取值范围为[1，+∞）．

点评：本题考查函数的单调性及函数恒成立问题，考查学生分析问题解决问题的能力，单调性问题常用到定义，恒成立问题常转化为函数最值问题解决．