Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且Sn=2n2+4n． 设数列{b_n}的前n项和为T_n，且bn=

2

an(2n-1)

． 
 （1）求T_n．
（2）设函数f（x）=-x²+4x，对（1）中的数列{a_n}，是否存在实数λ，使得当x≤λ时，f(x)≤

an

n+1

对任意n∈N^*恒成立．

Answer 1

分析：（1）已知S_n=2n²+4n，n=1代入求得首项，利用公式a_n=S_n-S_n-1，求出a_n的通项公式，代入b_n，利用裂项法进行求T_n；
（2）假设存在实数λ，使得当x≤1时，f（x）≤

an

n+1

对任意n∈N₊恒成立，令C_n=

4n+2

n+1

，证明C_n是递增数列，只要f（x）小于C₁即可，看能否解出x的范围，再进行判断；

解答：解：（1）由题意，S_n=2n²+4n，
所以a₁=S₁=6，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=4n+2，而a₁也满足此式，
所以{a_n}的通项公式为a_n=4n+2，
所以b_n=

2

an(2n-1)

=

2

(4n+2)(2n-1)

=

1

(2n+1)(2n-1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
所以T_n=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）
=

1

2

（1-

1

2n+1

）=

n

2n+1

；
（2）假设存在实数λ，使得当x≤1时，f（x）≤

an

n+1

对任意n∈N₊恒成立，
则-x²+4x≤

4n+2

n+2

对任意n∈N₊恒成立，
令C_n=

4n+2

n+1

，因为C_n+1-C_n=

2

(n+1)(n+2)

＞0，所以数列{C_n}是递增数列，
所以只要-x²+4x≤c₁，即x²-4x+3≥0，解得x≤1或x≥3，
所以存在最大的实数λ=1，使得x≤λ时，f（x）≤

an

n+1

对任意n∈N₊恒成立．

点评：本题考查数列的通项公式、裂项法求和问题，探索实数是否存在．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维的要求较高，解题时要认真审题，仔细解答；