题目内容
（2011•北京模拟）在平面直角坐标系xOy中，
=(4，0)，
=(1，
)，点C满足∠OCB=
．
（Ⅰ）求
•
；
（Ⅱ）证明：|
|=2
sin∠OBC；
（Ⅲ）是否存在实数λ，使得
=λ
成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．
| OA |
| OB |
| 3 |
| π |
| 4 |
（Ⅰ）求
| OB |
| BA |
（Ⅱ）证明：|
| OC |
| 2 |
（Ⅲ）是否存在实数λ，使得
| BC |
| BA |
分析：（Ⅰ）利用
=
-
，再结合数量积公式，即可求
•
；
（Ⅱ）利用面积相等，结合数量积公式，化简得证；
（Ⅲ）假设存在实数λ，使得
=λ
成立，则
=(3λ+1，
-
λ），
=(3λ，-
λ)，结合∠OCB=
，利用数量积公式，可求λ的值．
| BA |
| OA |
| OB |
| OB |
| BA |
（Ⅱ）利用面积相等，结合数量积公式，化简得证；
（Ⅲ）假设存在实数λ，使得
| BC |
| BA |
| OC |
| 3 |
| 3 |
| BC |
| 3 |
| π |
| 4 |
解答：（Ⅰ）解：∵
=(4，0)，
=(1，
)，∴
=
-
=（3，-
）
∴
•
=3-3=0；
（Ⅱ）证明：∵
|
|•|
|sin∠OCB=
|
|•|
|sin∠OBC，
∴|
|×
=2sin∠OBC
∴|
|=2
sin∠OBC；
（Ⅲ）解：假设存在实数λ，使得
=λ
成立，则
=(3λ+1，
-
λ），
=(3λ，-
λ)
∴cos
=
=
=
∴λ=±
．
即存在实数λ=±
，使得
=λ
成立
| OA |
| OB |
| 3 |
| BA |
| OA |
| OB |
| 3 |
∴
| OB |
| BA |
（Ⅱ）证明：∵
| 1 |
| 2 |
| OC |
| CB |
| 1 |
| 2 |
| OB |
| CB |
∴|
| OC |
| ||
| 2 |
∴|
| OC |
| 2 |
（Ⅲ）解：假设存在实数λ，使得
| BC |
| BA |
| OC |
| 3 |
| 3 |
| BC |
| 3 |
∴cos
| π |
| 4 |
| ||||
|
|
| 12λ2 | ||||
|
| ||
| 2 |
∴λ=±
| ||
| 3 |
即存在实数λ=±
| ||
| 3 |
| BC |
| BA |
点评：本题考查向量知识的运用，考查向量的减法，考查向量的数量积运算，综合性强．
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