Question

在正四棱锥P-ABCD中，PA=AB，E，F分别是PB，PC的中点，设异面直线AE与BF所成角的大小为α，则cosα=

1

3

．

Answer 1

分析：先建立空间直角坐标系，根据所建坐标系找到各定点坐标，求出向量

AE

与

BF

的坐标，用空间向量的夹角公式求出两个向量的夹角的余弦值，再结合实际情况判断异面直线AE与BF所成角恰好为向量

AE

与

BF

的夹角的余弦值，即可求出cosα．

解答：解：过P向底面ABCD作垂线，垂足为O，以OA所在直线为x轴，
OB所在直线为y轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，
设AB=

2

，则OA=OB=1，∵PA=AB，∴PO=1，
∴A（1，0，0），B（0，1，0），E（0，

1

2

，

1

2

），F（-

1

2

，0，

1

2

）
∴

AE

=（-1，

1

2

，

1

2

），

BF

=（

1

2

，-1，

1

2

）
∴cos＜

AE

，

BF

＞=

AE • BF

| AE |  | BF |

=

- 1 2 - 1 2 + 1 2 × 1 2

1+ 1 4 + 1 4 1 4 +1+ 1 4

=-

1

3

∵异面直线AE与BF所成角为锐角，∴cosα=-cos＜

AE

，

BF

＞=

1

3

故答案为

1

3

点评：本题主要考查正四棱锥中异面直线所成角的求法，利用空间向量的知识来解，思路比较好找，注意建坐标系要适当．