Question

（本小题共12分）

设，点在轴的负半轴上，点在轴上，且．

（1）当点在轴上运动时，求点的轨迹的方程；

（2）若，是否存在垂直轴的直线被以为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（本题满分12分）解：（1）（解法一），故为的中点．

设，由点在轴的负半轴上，则

又，　　　

又，　　　

所以，点的轨迹的方程为　　

（解法二），故为的中点． 设，由点在轴的负半轴上，则 -------1分

又由，故，可得 -------2分

由，则有，化简得：　 -------3分

所以，点的轨迹的方程为　　　　　　　 -------4分

（2）设的中点为，垂直于轴的直线方程为，

以为直径的圆交于两点，的中点为．

，

-------9分

　　　 　　　　 　-------11分

　　　 所以，令，则对任意满足条件的，

　　 都有（与无关），即为定值． -------12分