Question

设|z|=1且z≠±i,证明是实数.

Answer 1

分析:(1)z为复数可设出z=x+yi(x、y∈R),再进行运算、判断;(2)由|z|=1转为z=1,即=,进一步化简.

证法一:设z=x+yi(x、y∈R).

则=

=

=.

∵|z|=1,∴x²+y²=1.

∴y-x²y-y³=y(1-x²-y²)=0.

∴∈R.

证法二:∵|z|=1,∴z=1.∴=.

∴=.

设z=a+bi,则z+=2a∈R.

∴为实数.