Question

已知四棱锥S-ABCD中，侧棱SA⊥底面ABCD，且底面ABCD是边长为2的正方形，SA=2，AC与BD相交于点O．
（1）证明：SO⊥BD；
（2）求三棱锥O-SCD的体积．

Answer 1

分析：（1）通过证BD⊥平面SAC，可证SO⊥BD；
（2）利用三棱锥的换底性，三棱锥O-SCD可看作三棱锥S-OCD，分别求得底面面积与高，代入体积公式计算即可．

解答：解：（1）证明：∵底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
又侧棱SA⊥底面ABCD，∴SA⊥BD，AC∩SA=A，
∴BD⊥平面SAC，SO?平面SAC，∴SO⊥BD；
（2）∵底面正方形的边长为2，∴S_△OCD=

1

4

×2×2=1，
∵SA⊥底面ABCD，∴SA为三棱锥O-SCD的高，SA=2．
∴V_O-SCD=V_S-OCD=

1

3

×1×2=

2

3

．

点评：本题考查了线面垂直的性质及应用，考查了利用三棱锥的换底性求体积，考查了学生的空间想象能力与推理论证能力．