Question

已知sinα=

2

cosβ，tanα=

3

cotβ，且-

π

2

＜α＜

π

2

，0＜β＜π，求角α，β．

Answer 1

分析：利用同角三角函数的基本关系式，切化弦，求出α，β的三角函数值，根据α，β的范围，求出值即可．

解答：解：由已知得α=0，β=

π

2

符合题意（2分）
当α≠0且β≠

π

2

时∵sinα=

2

cosβ，且-

π

2

＜α＜

π

2

，
∴cosα=

1-sin2α

=

1-2cos2β

又∵tanα=

3

cotβ
∴

2 cosβ

1-2cos2β

=

3 cosβ

sinβ

∴

2

1-2cos2β

=

3

sin2β

即      （6分）
3-6cos²β=2sin²β=2-2cos²β
∴cos2β=

1

4

，∴cosβ=±

1

2

（8分）
当cosβ=

1

2

时，sinα=

2

2

当cosβ=-

1

2

时，sinα=-

2

2

又∵-

π

2

＜α＜

π

2

，0＜β＜π   
∴

α= π 4 β= π 3

或

α=- π 4 β= 2π 3

或

α=0 β= π 2

（12分）

点评：本题是中档题，考查三角函数的化简求值，方程组的解，注意解答范围的解法，考查计算能力．