Question

【题目】设为数列的前项和，若（为常数）对任意恒成立.

（1）若，求的值；

（2）若，且.

①求数列的通项公式；

②若数列满足，且，求证：数列为等比数列.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①，②证明见解析.

【解析】

（1）由题可得数列为等比数列，则可得，进而答案可求；

（2）①，利用求数列的通项公式；

②由①可得，则，又，可求出，，计算，进一步，则可得，代入计算可得，得证.

（1）因为，所以，所以数列为等比数列.

所以，所以.

（2）①.

当时，，解得或（舍去）.

当时，，

化简得：.

又因为，所以，所以数列为等差数列，所以.

②因为，所以当时，.

又因为，所以.

当时，，解得.

因为，所以，两式相除得，.

因为，所以，两式相除得，，

所以.

又因为，所以，即.

所以数列为等比数列.