Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

3

2

，过顶点A（0，1）的直线L与椭圆C相交于两点A，B．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若点M在椭圆上且满足

OM

=

1

2

OA

+

3

2

OB

，求直线L的斜率k的值．

Answer 1

分析：（1）利用离心率计算公式e=

c

a

=

3

2

，b=1，及a²=1+c²，即可解得a．
（2）设l的方程为y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（m，n）．与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，再利用已知

OM

=

1

2

OA

+

3

2

OB

，即可表示出点M的坐标，代入椭圆方程即可得出k．

解答：解：（1）由e=

c

a

=

3

2

，b=1，a²=1+c²，解得a=2，
故椭圆方程为

x2

4

+y2=1．
（2）设l的方程为y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（m，n）．
联立 

y=kx+1 x2 4 +y2=1

，消去y解得 （1+4k²）x²+8kx=0，
因为直线l与椭圆C相交于两点，所以△=（8k）²＞0，
所以x₁+x₂=-

8k

1+4k2

，x₁×x₂=0，
∵

OM

=

1

2

OA

+

3

2

OB

，∴

m= 1 2 (x1+ 3 x2) n= 1 2 (y1+ 3 y2)

点M在椭圆上，则m²+4n²=4，
∴

1

4

(x1+

3

x2)2+(y1+

3

y2)2=4，化简得
x₁x₂+4y₁y₂=x₁x₂+4（kx₁+1）（kx₂+1）=（1+4k²）x₁x₂+4k（x₁+x₂）+4=0，
∴4k•（-

8k

1+4k2

）+4=0，解得k=±

1

2

．
故直线l的斜率k=±

1

2

．

点评：本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为直线方程与椭圆的方程联立得到根与系数的关系、向量的运算法则等基础知识与基本技能，考查了推理能力、计算能力．