Question

如图，在空间六边形（即六个顶点没有任何五点共面）ABCC₁D₁A₁中，每相邻的两边互相垂直，边长均等于a，并且AA₁∥CC₁．求证：平面A₁BC₁∥平面ACD₁．

Answer 1

【答案】分析：在平面A₁BC₁内的两条相交直线BC₁和A₁C₁，证明A₁C₁∥平面ACD₁，BC₁∥平面ACD₁即可证明两个平面平行．
解答：证明：作正方形BCC₁B₁和CC₁D₁D，并连接A₁B₁和AD．
∵AA₁CC₁BB₁DD₁，且AA₁⊥AB，AA₁⊥A₁D₁，
∴ABB₁A₁和AA₁D₁D都是正方形，且ACC₁A₁是平行四边形．
故它们的对应边平行且相等．
∵△ABC≌△A₁B₁C₁，∴A₁B₁⊥B₁C₁．
同理，AD⊥CD．
∵BB₁⊥AB，BB₁⊥BC，∴BB₁⊥平面ABC．
同理，DD₁⊥平面ACD．
∵BB₁∥DD₁，∴BB₁⊥平面ACD．
∴A、B、C、D四点共面．
∴ABCD为正方形．
同理，A₁B₁C₁D₁也是正方形．
故ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方体．
易知A₁C₁∥AC，
∴A₁C₁∥平面ACD₁．
同理，BC₁∥平面ACD₁，
∴平面A₁BC₁∥平面ACD₁．
点评：本题考查平面与平面平行的判定，考查学生逻辑思维能力，空间想象能力，是中档题．