Question

已知公差为d的等差数列a_n，0＜a₁＜

π

2

，0＜d＜

π

2

，其前n项和为S_n，若sin（a₁+a₃）=sina₂，cos（a₃-a₁）=cosa₂．
（1）求数列a_n的通项公式；
（2）设bn=

Sn

(n+1)•2n-1

，求数列b_n的前n项和T_n．

Answer 1

（1）∵sin（a₁+a₃）=sina₂，∴sin2a₂=2sina₂cosa₂=sina₂，∴sina₂（2cosa₂-1）=0，
∵0＜a₁＜

π

2

，0＜d＜

π

2

，∴0＜a₂＜π，∴sina₂≠0，∴cosa2=

1

2

，∴a2=

π

3

，
∵cos（a₃-a₁）=cosa₂，∴cos2d=cos

π

3

，∴d=

π

6

，∴a1=

π

6

，∴an=

π

6

+(n-1)•

π

6

=

nπ

6

，∴数列a_n的通项公式为an=

nπ

6

．
（2）∵Sn=

n(a1+an)

2

=

n(n+1)π

12

，∴bn=

Sn

(n+1)•2n-1

=

πn

6•2n

=

π

6

•

n

2n

，
∴Tn=

π

6

(

1

2

+2•

1

22

+3•

1

23

+4•

1

24

++n•

1

2n

)①，

1

2

Tn=

π

6

[

1

22

+2•

1

23

+3•

1

24

+4•

1

25

++(n-1)•

1

2n

+n•

1

2n+1

]②，
①-②得

1

2

Tn=

π

6

(

1

2

+

1

22

+

1

23

+

1

24

++

1

2n

-n•

1

2n+1

)=

π 12 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

nπ

6

•

1

2n+1

=

π

6

(1-

1

2n

)-

nπ

6

•

1

2n+1

，
∴Tn=

π

3

-

(n+2)π

3•2n+1

．