Question

【题目】已知函数 .

(1)当时，证明： ；

(2)当时，函数单调递增，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】试题分析：（1）时， 即证,只需证明,利用导数研究函数的单调性，根据单调性可得，从而可得原不等式成立；(2) 依题在上恒成立，讨论三种情况：①当时， 单调递增； ,符合题意；②当时， ,不符合题意，舍去；③当存在部分不合题意，综合三种情况可得结果.

试题解析：证明：(1)当时，即证： ,

,令，

则,当时，有.

当时， 单调递增；

当时，有.当时， 单调递减， .取等号条件不致，

（此问可以参考如图理解）. .

(2)依题在上恒成立，

令,

又令,所以当时， 在上单调递增，

,因此,

，讨论：

①当时， 单调递增； ,符合题意

②当时， ,不符合题意，舍去.

③当.

,当时， 在时单调递减，

当时， 在单调递减， ，不符合题意舍去.

综上： .