Question

定义在R上的函数f（x）既是偶函数又是周期函数，若f（x）的最小正周期是π，且当x∈[0，

π

2

]时，f（x）=sinx
（1）求当x∈[-π，0]时f（x）的解析式
（2）画出函数f（x）在[-π，π]上的函数简图
（3）求当f(x)≥

1

2

时，x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）首先取x∈[-

π

2

，0]，得到-x∈[0，

π

2

]，把-x代入x∈[0，

π

2

]时的解析式，结合偶函数的概念可求得
x∈[-

π

2

，0]时的解析式，然后再取x∈[-π，-

π

2

]，加π后得到x+π∈[0，

π

2

]，代入x∈[0，

π

2

]时的解析式，
结合周期函数的概念求解f（x）；
（2）作出函数在[-π，0]上的图象，根据偶函数图象关于y轴轴对称得到函数在[0，π]上的图象；
（3）先求出[-π，0]上满足f(x)≥

1

2

的x的取值范围，根据函数是以π为周期的周期函数，把得到的区间端点值加上π的整数倍得到要求解的区间．

解答：（1）因为f（x）是偶函数，所以f（-x）=f（x）
而当x∈[0，

π

2

]时，f（x）=sinx，所以x∈[-

π

2

，0]时，-x∈[0，

π

2

]，
f（x）=f（-x）=sin（-x）=-sinx．
又当x∈[-π，-

π

2

]时，x+π∈[0，

π

2

]，
因为f（x）的周期为π，所以f（x）=f（π+x）=sin（π+x）=-sinx．
所以当x∈[-π，0]时f（x）=-sinx．
（2）函数图象如图，

（3）由于f（x）的最小正周期为π，
因此先在[-π，0]上来研究f(x)≥

1

2

，即-sinx≥

1

2

．
所以sinx≤-

1

2

．所以，-

5π

6

≤x≤-

π

6

．
由周期性知，当f(x)≥

1

2

时，x∈[kπ-

5π

6

，kπ-

π

6

]（k∈Z）．
所以，当f(x)≥

1

2

时，x的取值范围是[kπ-

5π

6

，kπ-

π

6

]（k∈Z）．

点评：本题考查了函数解析式的求解及常用方法，考查了三角函数的周期及图象，考查了三角函数的奇偶性，解答此题的关键是，通过周期变换和平移变换、把要求解解析式的范围内的变量转化到已知解析式的范围内，此题是中档题．