Question

如图,在底面是菱形的四棱锥P—ABCD中,∠ABC=60°,PA⊥面ABCD,PA=AC=a,PB=PD=a,点E在PD上,且PE∶ED=2∶1.在棱PC上是否存在一点F,使BF∥平面AEC?证明你的结论.

Answer 1

解法一:当F是棱PC的中点时,BF∥平面AEC.

因为

所以、、共面.

又BF平面AEC，从而BF∥平面AEC.

解法二:如图,以A为坐标原点,直线AD、AP分别为y轴、z轴,过A点垂直于平面PAD的直线为x轴,建立空间直角坐标系.

由题意,知相关各点的坐标分别为

A(0,0,0),B(a,-a,0),C(a,a,0),D(0,a,0),P(0,0,a),E(0,a).

所以=(0,),

,

设点F是棱PC上的点,其中0＜λ＜1,

则

令

得

即

解得λ=,λ₁=-,λ₂=,

即λ=时,,即F是PC的中点时,、、共面.

又BF平面AEC,所以当F是棱PC的中点时,

BF∥平面AEC.

解法三:由解法二可知

设平面ACE的法向量为n=(x,y,z),

则

即

令y=1,得z=-2,x=-,即n=(-,1,-2).

设

∴F点的坐标为(aλ,aλ,a-aλ).

∴

∴

∴λ=,即.

又∵BF平面AEC,

∴当F是棱PC的中点时,BF∥平面AEC.

解法四:当F是棱PC的中点时,BF∥平面AEC.

如图,取PE的中点M,连结FM,则FM∥CE.                   ①

由EM=PE=ED,知E是MD的中点,

∴BM∥OE.                                                                  ②

由①②,知平面BFM∥平面AEC,

又BF平面BFM,∴BF∥平面AEC.