Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=2，AB=AC=1，∠BAC=90°，点M是BC中点，点N在侧棱CC₁上，若MN⊥AB₁，求异面直线B₁N与AB所成角．

Answer 1

分析：分别以AB、AC、AA1为x轴、y轴、z轴，求出

B1N

与

AB

，然后根据向量的夹角公式求出

B1N

与

AB

所成角，最后用反三角表示即可．

解答：解：如图建立空间直角坐标系
N（0，1，z），M（

1

2

，

1

2

，z），B₁（1，0，2），

.

AB1

={1，0，2}，

MN

=（-

1

2

，

1

2

，z）

.

AB1

⊥

MN

，

.

AB1

•

MN

=0，
z=

1

4

B1N

={-1，1，-

7

4

}，

AB

={1，0，0}，
设

B1N

与

AB

所成角为α，
cosα=-

4

9

，α=π-arccos

4

9

异面直线B₁N与AB所成角为arccos

4

9

．

点评：本题主要考查了异面直线及其所成角，同时考查了利用空间向量的方法求解立体几何问题，属于中档题．