Question

（文）已知数列{a_n}的通项公式为an=3n，集合A={y|y=ai ， i≤100 ， i∈N*}，B={y|y=4m+1，m∈N^*}．现在集合A中随机取一个元素y，则y∈B的概率为

1

2

．

Answer 1

分析：y=a_i=3i∈A，i≤100，i∈N^*．当i=2k，k∈N^*时，y=3^2k=9^k=（8+1）^k=C

0 k

8^k+C

1 k

8^k-1+…+C

k-1 k

8+C

k k

=4×2（C

0 k

8^k-1+C

1 k

8^k-2+…+C

k-1 k

）+1，故y∈B．由此能求出在集合A中随机取一个元素y，则y∈B的概率．

解答：解：设y=a_i=3i∈A，i≤100，i∈N^*．
当i=2k，k∈N+时，
∵y=3^2k=9^k=（8+1）^k=C

0 k

8^k+C

1 k

8^k-1+…+C

k-1 k

8+C

k k

=4×2（C

0 k

8^k-1+C

1 k

8^k-2+…+C

k-1 k

）+1，
∴y∈B．
∵y=a_i=3i∈A，i≤100，i∈N^*．
∴1≤2k≤100，

1

2

≤k≤50，k∈N*，
∴满足条件的k有50个，
∴在集合A中随机取一个元素y，则y∈B的概率为

50

100

=

1

2

．
故答案为：

1

2

．

点评：本题考查等比数列的通项公式的应用，解题时要认真审题，注意二项式定理的合理运用．