Question

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知 2S△ABC=

3

 

BA

 • 

BC

．
（Ⅰ）求角B；
（Ⅱ）若b=2，求a+c的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）在△ABC中，由条件求得 2×

1

2

ac•sinB=

3

•ac•cosB，解得tanB=

3

，可得 B的值．
（Ⅱ）若b=2，则由余弦定理可得 b²=4=（a+c）²-3ac，再由基本不等式可得a+c≤4，结合a+c＞b=2 求得a+c的范围．

解答：解：（Ⅰ）∵在△ABC中，2S△ABC=

3

 

BA

 • 

BC

，∴2×

1

2

ac•sinB=

3

•ac•cosB，解得tanB=

3

，∴B=

π

3

．
（Ⅱ）若b=2，则由余弦定理可得 b²=4=a²+c²-2ac•cosB=（a+c）²-3ac≥（a+c）²-3•(

a+c

2

)2=

(a+c)2

4

，
∴a+c≤4 当且仅当a=c时，等号成立．
再由a+c＞b=2 可得，a+c的范围为（2，4]．

点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理、基本不等式的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题．