Question

抛物线C的方程为y=ax²（a＜0），过抛物线C上一点P（x，y）（x≠0）作斜率为k₁、k₂的两条直线分别交抛物线C于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）两点（P、A、B三点互不相同），且满足k₂+λk₁=0（λ≠0且λ≠-1），
（1）设直线AB上一点M，满足，证明线段PM的中点在y轴上；
（2）当λ=1时，若点P的坐标为（1，-1），求∠PAB为钝角时点A的纵坐标y₁的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）设直线PA、PB的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理，确定P，M的坐标，即可证明线段PM的中点在y轴上；
（2）∠PAB为钝角且P、A、B三点互不相同，故必有，由此即可求∠PAB为钝角时点A的纵坐标y₁的取值范围．
解答：（1）证明：设直线PA的方程为y-y=k₁（x-x），直线PB的方程为y-y=k₁（x-x）．
点P（x，y）和点A（x₁，y₁）的坐标是方程组的解．
将②式代入①式得ax²-k₁x+k₁x-y=0，于是，故③（3分）
又过点P（x，y）和点B（x₂，y₂）的直线的斜率为k₂，同理可得．
由已知得，k₂=-λk₁，则． ④（4分）
设点M的坐标为（x_M，y_M），由，则．
将③式和④式代入上式得，即x_M+x=0．
∴线段PM的中点在y轴上．    （6分）
（2）解：因为点P（1，-1）在抛物线y=ax²上，所以a=-1，抛物线方程为y=-x²．
由③式知x₁=-k₁-1，代入y=-x²得．
将λ=1代入④式得x₂=k₁-1，代入y=-x²得．
因此，直线PA、PB分别与抛物线C的交点A、B的坐标为，．  （8分）
于是，，．
因∠PAB为钝角且P、A、B三点互不相同，故必有．
即2k₁（k₁+2）（2k₁+1）＜0    （10分）
解得k₁＜-2或．   （12分）
又点A的纵坐标y₁满足，
故当k₁＜-2时，y₁＜-1；当时，．
即（13分）
点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．