Question

设函数f（x）=ax+

x

x-1

（x＞1），若a是从0，1，2三个数中任取一个，b是从1，2，3，4，5五个数中任取一个，那么f（x）＞b恒成立的概率为（　　）

• A．

  9

  15

• B．

  7

  15

• C．

  2

  5

• D．

  1

  2

Answer 1

分析：先把f（x）的解析式变形，用分离常数法，然后用均值不等式求出最小值，本题是一个古典概型，试验发生
包含的所有事件有15个，满足条件的事件有9个，列举出结果，从而求得f（x）＞b恒成立的概率．

解答：解：∵x＞1，当a＞0时，函数f（x）=ax+

x

x-1

=ax+

x-1+1

x-1

=ax+1+

1

x-1

 
=a（x-1）+

1

x-1

+a+1≥2

a

+a+1=(

a

+1)2，当且仅当a（x-1）=

1

x-1

 时，等号成立．
故 f（x）min=(

a

+1)2．
于是f（x）＞b恒成立就转化为  (

a

+1)2＞b，
当a=0时，函数f（x）=1+

1

x-1

＞1，由f（x）＞b恒成立可得，只有b=1．
设事件A：“f（x）＞b恒成立”，则基本事件总数（a，b）为15个：
即（0，1），（0，2），（0，3），（0，4）；（0，5），（1，1），（1，2），（1，3），
（1，4），（1，5），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）．
事件A包含事件：（0，1），（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），
（2，4），（2，5），共9个，
由古典概型得P（A）=

9

15

=

3

5

，
故选 A．

点评：在使用古典概型的概率公式时，应该注意：（1）要判断该概率模型是不是古典概型；（2）要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数；当解析式中含有分式，且分子分母是齐次的，注意运用分离常数法来进行式子的变形，在使用均值不等式应注意一定，二正，三相等，属于基础题．