题目内容

已知函数f（x）=4sin²（ $数学公式$ +x）-2 $数学公式$ cos2x-1且 $数学公式$ ≤x≤ $数学公式$
（1）求f（x）的最大值及最小值；
（2）求f（x）的单调区间．

解：（1）f（x）=4sin²（ $\text{[math]}$ +x）-2 $\text{[math]}$ cos2x-1=2[1-cos（ $\text{[math]}$ +2x）]）-2 $\text{[math]}$ cos2x-1
=1+2sin2x-2 $\text{[math]}$ cos2x=1+4sin（2x- $\text{[math]}$ ）．
故f（x）的最大值为5，最小值为 1-4=-3．
（2）由2kπ- $\text{[math]}$ ≤2x- $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z，解得 kπ- $\text{[math]}$ ≤x≤kπ+ $\text{[math]}$ ，故f（x）的单调增区间为[kπ- $\text{[math]}$ ，kπ+ $\text{[math]}$ ]．
由2kπ+ $\text{[math]}$ ≤2x- $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z，解得 kπ+ $\text{[math]}$ ≤x≤kπ+ $\text{[math]}$ ，故f（x）的单调减区间为[kπ+ $\text{[math]}$ ，kπ+ $\text{[math]}$ ]．
分析：（1）利用三角函数的恒等变换及化简求值化简f（x）=1+4sin（2x- $\text{[math]}$ ），根据正弦函数的定义域和值域求出f（x）的最大值及最小值．
（2）由2kπ- $\text{[math]}$ ≤2x- $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z，解得x 的范围，即得f（x）的单调增区间．由2kπ+ $\text{[math]}$ ≤2x- $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z，解得x 的范围，即得f（x）的单调减区间．
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的定义域和值域以及单调区间的求法，求出f（x）=1+4sin（2x- $\text{[math]}$ ），是解题的关键，属于中档题．