题目内容

已知函数f（x）=kx+b的图象与x，y轴分别相交于点A（-2，0），B（0，2），函数g（x）=x2-x-6．（1）求k，b的值；（2）当x满足f（x）＞g（x）时，求函数
g(x)+1f(x)
的最小值．
分析：（1）由于函数过两个定点A（-2，0），B（0，2），将此两点的坐标代入（x）=kx+b得到关于k，b的方程求出k，b的值；
（2）由f（x）＞g（x）解一元二次不等式求出x的取值范围，再研究函数
g(x)+1
f(x)
的解析式，利用基本不等式求出函数的最小值；
解答：解：（1）由已知函数f（x）的图象与x，y轴分别交于点A（-2，0），B（0，2），
∴代入联立方程组可得：k=1，b=2．…2分
（2）由f（x）＞g（x），得x+2＞x2-x-6，即（x+2）（x-4）＜0，得-2＜x＜4，…5分
g(x)+1
f(x)
=
x2-x-5
x+2
=x+2+
1
x+2
-5…7分
∵x+2＞0
∴
g(x)+1
f(x)
=
x2-x-5
x+2
=x+2+
1
x+2
-5≥-3
其中等号当且仅当x+2=1，即x=-1时成立．
∴
g(x)+1
f(x)
的最小值是-3．…14分．
点评：本题考查基本不等式在最值问题中的应用，解题的关键是构造成可以利用基本不等式求最小值的形式：积定．本题要注意判断等号成立的条件，利用基本不等式法度最值在求最值问题中有着广泛的应用，解题时要注意验证其成立的条件：正，定，等．正指的是两数都是正数，定指的是积为定值或和为定值，等，指的是等号成立的条件．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=k[（logax）2+（logxa）2]-（logax）3-（logxa）3，（其中a＞1），g（x）=x2-2bx+4，设t=logax+logxa．
（Ⅰ）当x∈（1，a）∪（a，+∞）时，将f（x）表示成t的函数h（t），并探究函数h（t）是否有极值；
（Ⅱ）当k=4时，若对?x1∈（1，+∞），?x2∈[1，2]，使f（x1）≤g（x2），试求实数b的取值范围．．
已知函数f（x）=
k+1x
（k＜0），求使得f（x+k）＞1成立的x的集合．
已知函数f（x）=k•a-x（k，a为常数，a＞0且a≠1）的图象过点A（0，1），B（3，8）．
（1）求实数k，a的值；
（2）若函数g(x)=
f(x)-1f(x)+1
，试判断函数g（x）的奇偶性，并说明理由．
（2012•芜湖二模）给出以下五个命题：
①命题“?x∈R，x2+x+1＞0”的否定是：“?x∈R，x2+x+1＜0”．
②已知函数f（x）=k•cosx的图象经过点P（
π
3
，1），则函数图象上过点P的切线斜率等于-
3

③a=1是直线y=ax+1和直线y=（a-2）x-1垂直的充要条件．
④函数f(x)=(
1
2
)x-x
1
3
在区间（0，1）上存在零点．
⑤已知向量
a
=(1，-2)与向量
b
=(1，m)的夹角为锐角，那么实数m的取值范围是（-∞，
1
2
）
其中正确命题的序号是
②③④
②③④
．
（已知函数f（x）=k[（logax）2+（logxa）2]-（logax）3-（logxa）3，（其中a＞1），g（x）=x2-2bx+4，设t=logax+logxa．
（Ⅰ）当x∈（1，a）∪（a，+∞）时，试将f（x）表示成t的函数h（t），并探究函数h（t）是否有极值；
（Ⅱ）当k=4时，若对任意的x1∈（1，+∞），存在x2∈[1，2]，使f（x1）≤g（x2），试求实数b的取值范围．．

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