题目内容
如图，在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，PA⊥平面ABCD．PA=3，AD=2，AB=2| 3 |
（1）求证：BD⊥平面PAC；
（2）求二面角P-BD-A的大小．
分析：（Ⅰ）由PA⊥平面ABCD，知BD⊥PA．由tan∠ABD=
=
，tan∠BAC=
=
，知∠ABD=30°，∠BAC=60°．由此能够证明BD⊥平面PAC．
（Ⅱ）连接PE，由BD⊥平面PAC，知BD⊥PE，BD⊥AE．所以∠AEP为二面角P-BD-A的平面角，由此能够求出二面角P-BD-A的大小．
| AD |
| AB |
| ||
| 3 |
| BC |
| AB |
| 3 |
（Ⅱ）连接PE，由BD⊥平面PAC，知BD⊥PE，BD⊥AE．所以∠AEP为二面角P-BD-A的平面角，由此能够求出二面角P-BD-A的大小．
解答：解：（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD．
∴BD⊥PA．…（2分）
∵tan∠ABD=
=
，tan∠BAC=
=
，
∴∠ABD=30°，∠BAC=60°．
∴∠AEB=90°，即BD⊥AC．
∵PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC．…（6分）
（Ⅱ）连接PE，
∵BD⊥平面PAC，∴BD⊥PE，BD⊥AE．
∴∠AEP为二面角P-BD-A的平面角．…（8分）
在Rt△AEB中，AE=ABsin∠ABD=
，
∴tan∠AEP=
=
，
∴∠AEP=60°，
∴二面角P-BD-A的大小为60°．
∴BD⊥PA．…（2分）
∵tan∠ABD=
| AD |
| AB |
| ||
| 3 |
| BC |
| AB |
| 3 |
∴∠ABD=30°，∠BAC=60°．
∴∠AEB=90°，即BD⊥AC．
∵PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC．…（6分）
（Ⅱ）连接PE，
∵BD⊥平面PAC，∴BD⊥PE，BD⊥AE．
∴∠AEP为二面角P-BD-A的平面角．…（8分）
在Rt△AEB中，AE=ABsin∠ABD=
| 3 |
∴tan∠AEP=
| AP |
| AE |
| 3 |
∴∠AEP=60°，
∴二面角P-BD-A的大小为60°．
点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的求法．解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
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