Question

已知数列{a_n}为递增的等比数列，且a₃、a₈分别是方程x²-66x+128=0的两根．
（1）求a₅•a₆的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）以数列{a_n}中的偶数项作为一个新的数列{b_n}，求数列{b_n}的通项公式，并求前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）根据等比数列的性质，我们易得a₅•a₆=a₃•a₈，再由a₃、a₈分别是方程x²-66x+128=0的两根，由韦达定理（根与系数的关系）我们易得到答案．
（2）由数列{a_n}为递增的等比数列，且a₃、a₈分别是方程x²-66x+128=0的两根，我们易由韦达定理（根与系数的关系）求出数列的a₃、a₈，进而求出数列的公比，得到数列的通项公式；项公式，并求前n项和S_n．
（3）由（2）的结论，结合以数列{a_n}中的偶数项作为一个新的数列{b_n}，我们可以确定数列{b_n}的首项及公比，进而得到通项公式，及前n项和S_n．

解答：解：∵数列{a_n}为递增的等比数列，且a₃、a₈分别是方程x²-66x+128=0的两根
∴a₃•a₈=128，a₃+a₈=66
∴a₃=2，a₈=64
（1）∵5+6=3+8
∴a₅•a₆=a₃•a₈=128，
（2）∵a₃=2，a₈=64
∴q=2
∴a_n=2^n-2
（3）由（2）的结论数列{a_n}中的偶数项作为一个新的数列{b_n}，
则数列{b_n}是一个以1为首项，以4为公比的等比数列
则b_n=4^n-1
S_n=

1-4n

1-4

=

1

3

•4n-

1

3

点评：本题考查的知识点是等比数列的性质、等比数列的通项公式、等比数列的前n项和，解答特殊数列（等差数列与等比数列）的问题时，根据已知条件构造关于基本量的方程，解方程求出基本量，再根据定义确定数列的通项公式及前n项和公式，然后代入进行运算．