Question

已知{a_n}为等差数列，公差d≠0，{a_n}的部分项ak1，ak2，…，akn恰为等比数列，若k₁=1，k₂=5，k₃=17，
（1）求k_n；
（2）求k₁+2k₂+3k₃+…+nk_n．

Answer 1

分析：（1）通过数列中k₁=1，k₂=5，k₃=17时成等比数列，求出a₁与d的关系，然后求出数列的公比，然后利用akn的值求出k_n；
（2）利用（1）的结果，直接写出k₁+2k₂+3k₃+…+nk_n得到一个等差数列，和一个等差数列与一个等比数列对应项乘积的数列，通过错位相减法求出和即可．

解答：解：（1）设等比数列ak1，ak2，…，akn的公比为q
∵k₁=1，k₂=5，k₃=17
∴a₁•a₁₇=a₅² 即 a₁（a₁+16d）=（a₁+4d）²，
 得 a₁d=2d²
∵d≠0∴a₁=2d，q=

a5

a1

=3
∵akn=a1+(kn-1)d=(kn+1)d，akn=ak1•qn-1=2d×3n-1
∴k_n=2×3^n-1-1，n∈N*
（2）k₁+2k₂+3k₃+…+nk_n
=（2×3⁰-1）+2×（2×3¹-1）+…+n×（2×3^n-1-1）
=2×（1×3⁰+2×3¹+…+n×3^n-1）-（1+2+…+n）
设S_n=1×3⁰+2×3¹+…+n×3^n-1，
则3S_n=1×3¹+2×3²+…+n×3ⁿ，
两式相减得：-2Sn=1+31+32+…+3n-1-n×3n=(

1

2

-n)×3n-

1

2

∴Sn=(

n

2

-

1

4

)×3n+

1

4

∴k₁+2k₂+3k₃+…+nk_n=(n-

1

2

)×3n+

1

2

-

n(n+1)

2

点评：本题是中档题，考查等差数列与等比数列的综合应用，数列的通项公式，前n项和的求法，注意错位相减法的应用，考查计算能力，常考题型．