Question

已知抛物线C：x²=4y的焦点为F，过点F作直线l交抛物线C于A、B两点；椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，点F是它的一个顶点，且其离心率．
（1）经过A、B两点分别作抛物线C的切线l₁，l₂，切线l₁与l₂相交于点M．证明：；
（2）椭圆E上是否存在一点M'，经过点M'作抛物线C的两条切线M'A'，M'B'（A'，B'为切点），使得直线A'B'过点F？若存在，求出抛物线C与切线M'A'，M'B'所围成图形的面积；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）联立，得x²-4kx-4=0，x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4，由抛物线C的方程为，知，过抛物线上A、B两点的切线方程分别是，由此能够求．
（2）设椭圆E的方程为，半焦距为c，，解得a=2，b=1，所以椭圆E的方程是．假设存在点M‘满足题意，点M’心在直线y=-1上，由此能够求出抛物线C与切线M′A′，M′B′所围成图形的面积是=．
解答：解：（1）联立，得x²-4kx-4=0，
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4，
∵抛物线C的方程为，∴，
∴过抛物线上A、B两点的切线方程分别是
，
即，
解得两条切线l₁，l₂的交点坐标为，即M（2k，-1），
要证，即证，
∵
==0，∴．
（2）设椭圆E的方程为，半焦距为c，
，解得a=2，b=1，
∴椭圆E的方程是．
假设存在点M‘满足题意，由（1）知，点M’心在直线y=-1上，
又直线y=-1与椭圆E有唯一交点，故M‘（0，-1）．
设过点M’且与抛物线C相切的切线方程这：，
其中点（x，y）为切点，
令x=0，y=-1，得-1-=，
解得x=2或x=-2．
取A‘（-2，1），B’（2，1）即直线A‘B’过点F，
综上所述，椭圆E上存在一点M‘（0，-1），经过点M′作抛物线C的两条切线M′A′，M′B′（A′，B′为切点），
此时，两条切线分别为y=-x-1，y=x-1．
抛物线C与切线M′A′，M′B′所围成图形的面积是=．
点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．