Question

已知函数f(x)=

1

2

x2+2ax，g(x)=3a2lnx+b．其中a，b∈R．
（1）设两曲线y=f（x）与y=g（x）有公共点，且在公共点处的切线相同，若a＞0，试建立b关于a的函数关系式；
（2）若b∈[-2，2]时，函数h（x）=f（x）+g（x）-（2a+b）x在（0，4）上为单调增函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设公共点（x₀，y₀），根据题意得到f（x₀）=g（x₀），f′（x₀）=g′（x₀），解出b关于a的函数关系式；
（2）根据已知h（x）为单调增函数，则h′（x）≥0在（0，4）上恒成立，再转化为2≤x+

3a2

x

对x∈（0，4）恒成立，解出a的取值范围即可．

解答：解：（1）设两曲线y=f（x）与y=g（x）在公共点（x₀，y₀） 处的切线相同，
由于f′（x）=x+2a，g′（x）=

3a2

x

，
由题意知f（x₀）=g（x₀），f′（x₀）=g′（x₀），
即

1 2 x 2 0  +2ax0=3a2lnx0+b x0+2a= 3a2 x0

解得 x₀=a或x₀=-3a （舍去），
将x₀=a代入上述方程组中的第一个方程，得b=

5a2

2

-3a²lna，
∴b关于a的函数关系式为：b=

5a2

2

-3a²lna（a＞0）．
（2）h（x）=f（x）+g（x）-（2a+b）x
=

1

2

x2-bx+3a2lnx+b．
∵h（x）在（0，4）上恒为单调增函数，
所以h′(x)=x-b+

3a2

x

≥0恒成立，b≤x+

3a2

x

在b∈[-2，2]时恒成立，
即2≤x+

3a2

x

对x∈（0，4）恒成立．
∴3a²≥-x²+2x=-（x-1）²+1对x∈（0，4）恒成立，
∴3a²≥1，
∴a≥

3

3

或a≤-

3

3

．
综上，a的取值范围是：a≥

3

3

或a≤-

3

3

．

点评：本题主要考查函数的单调性、利用导数研究曲线上某点切线方程等知识，是一道关于函数的综合题，属于中档题．