Question

已知定义在R上的函数f（x）和数列{a_n}满足下列条件：a_n=f（a_n-1）（n=2，3，4，…），f(an)-f(an-1)=

an-an-1

2

(n=2，3，4，…），若a₁=30，a₂=60，令b_n=a_n+1-a_n（n∈N₊）．
（I）证明数列{b_n}是等比数列，并求数列{b_n}的通项公式；
（II）设c_n=log₂b_n，S_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n，求使S_n取最大值时的n值．

Answer 1

分析：（1）根据b_n=a_n+1-a_n，进而表示出b_n+1=，求得

bn+1

bn

为定值，判断数列{b_n}是等比数列，公比为

1

2

，通过b₁=a₂-a₁求得数列的首项，进而根据等比数列的通项公式求得数列{b_n}的通项公式．
（2）把（1）求得的b_n代入c_n，进而可求得c_n+1-c_n结果为定值，且小于0可判断出数列{c_n}是递减的等差数列，令c_n＞0得n＜2+log₂15，求得数列{c_n}的前5项都是正的，第6项开始全部是负的，进而可判断n=5时，S_n取最大值．

解答：解：（I）∵b_n=a_n+1-a_n，∴b_n+1=a_n+2-a_n+1，
∴

bn+1

bn

=

an+2-an+1

an+1-an

=

f(an+1)-f(an)

an+1-an

=

an+1-an 2

an+1-an

=

1

2

∴数列{b_n}是等比数列，
∵b₁=a₂-a₁=30∴bn=15•(

1

2

)n-2．
（II）c_n=log₂15+2-n，
∵c_n+1-c_n=-1，
∴数列{c_n}是递减的等差数列，
令c_n＞0得n＜2+log₂15，∵log₂15∈（3，4），
∴2+log₂15∈（5，6）
∴数列{c_n}的前5项都是正的，第6项开始全部是负的，
∴n=5时，S_n取最大值．

点评：本题主要考查了等比关系的确定和等比数列的通项公式．涉及了数列和不等式问题的综合考查．