Question

设函数f（x）=

1

3

x-lnx（x＞0），则y=f（x）（　　）

• A．在区间（

  1

  e

  ，1），（1，e）内均有零点．
• B．在区间（1，e），（e，3）内均有零点．
• C．在区间（e，3），（3，e²）内均无零点．
• D．在区间内（1，e），（3，e²）内均有零点．

Answer 1

分析：求f（x）的零点问题，可以令g（x）=

1

3

x，h（x）=lnx（x＞0），分别画出g（x）和h（x）的图象，看交点所在的区间，从而进行判断；

解答：解：∵函数f（x）=

1

3

x-lnx（x＞0），
可以令g（x）=

1

3

x，h（x）=lnx（x＞0），由图象得，

可知：f（x）有两个零点A，B，
A点在区间（1，e）内，B点在区间（3，e²）内，
故选D．

点评：本题考查的知识点是根据根的存在性及根的个数的判断，其中将方程的根转化为函数的零点，然后利用图象法结合数形结合的思想，分析函数图象交点与k的关系是解答本题的关键．