题目内容

若双曲线 $数学公式$ 上不存在点P使得右焦点F关于直线OP（O为双曲线的中心）的对称点在y轴上，则该双曲线离心率的取值范围为

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

C
分析：由于双曲线得对称性，只讨论第一象限即可．根据双曲线方程，设其上一点P的坐标为P（ $\text{[math]}$ ，btanθ），其中为θ锐角，求出直线OP方程：y= $\text{[math]}$ x．设右焦点F（c，0）关于直线OP的对称点为Q（x₁，y₁），根据点关于直线对称的知识，列方程组并化简消去y₁，可得 $\text{[math]}$ ．因为不存在点P使得对称点Q在y轴上，所以不存在θ，使x₁=0满足该方程，讨论这个方程解的情况，得 $\text{[math]}$ ，可得c²≤2a²，离心率满足 $\text{[math]}$ ．得到正确答案．
解答：由于双曲线得对称性，只讨论第一象限即可．
设双曲线位于第一象限内一点P的坐标为（ $\text{[math]}$ ，btanθ），其中为θ锐角，
∴直线OP的斜率为k= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，可得直线OP方程为y= $\text{[math]}$ x，
设右焦点F（c，0）关于直线OP的对称点为Q（x₁，y₁），
∴ $\text{[math]}$ ，消去y₁得： $\text{[math]}$ …（*），
接下来讨论方程（*）的根的问题，
当x₁=0时， $\text{[math]}$ ，将此方程进行变量分离，得： $\text{[math]}$
∵0＜sin²θ＜1
∴ $\text{[math]}$
而根据题意，不存在点P使得对称点Q在y轴上，所以不存在θ，使x₁=0满足（*）式成立．
综上所述，可得 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，可得c²≤2a²，离心率 $\text{[math]}$
∵双曲线中，c＞a
∴离心率e＞1，可得 $\text{[math]}$ ．
故选C
点评：本题给出双曲线上不存在点P使得右焦点F关于直线OP（O为双曲线的中心）的对称点在y轴上，求双曲线离心率的取值范围，着重考查了双曲线的简单性质和点关于直线对称等知识点，属于中档题．