题目内容

已知P为椭圆C：
x2
25
+
y2
16
=1上的任意一点，F为椭圆C的右焦点，M的坐标为（1，3），则|PM|+|PF|的最小值为
 
．
分析：先作出图形来，再根据椭圆的定义得出|PM|+|PF|=2a-（|PF1|-|PM|），将|PM|+|PF|的最小值转化为求|PF1|-|PM|的最大值，最后找到取得最值的状态求解．
解答：精英家教网解：设椭圆的左焦点为：F1
根据椭圆的第一定义|PM|+|PF|=|PM|+2a-|PF1|=2a-（|PF1|-|PM|），
∴|PM|+|PF|取得最小值时，即|PF1|-|PM|最大，
如图所示：|PF1|-|PM|≤|MF1|=5，
当P，M，F1共线且P在MF1的延长线上时，取得这个最大值．
∴|PA|+|PF1|的最小值为：10-5=5．
故答案为：5．
点评：本题主要考查了椭圆的应用，考查学生的作图能力和应用椭圆的定义来求最值的能力．解答本题的关键是将|PM|+|PF|的最小值转化成求|PF1|-|PM|最大，从而结合平面几何的性质解决，属于中档题．
练习册系列答案
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精英家教网已知O为坐标原点，F为椭圆C：x2+
y2
2
=1在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为-
2
的直线l与C交于A、B两点，点P满足
OA
+
OB
+
OP
=
0
．
（Ⅰ）证明：点P在C上；
（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1（-1，0）、F2（1，0），P为椭圆C上任意一点，且cos∠F1PF2的最小值为
1
3
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）动圆x2+y2=t2（
2
＜t＜
3
）与椭圆C相交于A、B、C、D四点，当t为何值时，矩形ABCD的面积取得最大值？并求出其最大面积．
已知F是椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦点，点P在椭圆C上，线段PF与圆x2+y2=b2相切于点Q，且
PQ
=
QF
，则椭圆C的离心率为
5
3
5
3
．
（2012•辽宁模拟）已知F1、F2分别为椭圆C：
x2
4
+
y2
3
=1的左、右焦点，点P为椭圆C上的动点，则△PF1F2的重心G的轨迹方程为（　　）
（2011•上海模拟）在平面直角坐标系中，已知焦距为4的椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1  (a＞b＞0)的左、右顶点分别为A、B，椭圆C的右焦点为F，过F作一条垂直于x轴的直线与椭圆相交于R、S，若线段RS的长为
10
3
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若椭圆C上存在两个不同的点关于直线l：y=9x+m对称，求实数m的取值范围．
（3）若P为椭圆C在第一象限的动点，过点P作圆x2+y2=5的两条切线PA、PB，切点为A、B，直线AB与x轴、y轴分别交于点M、N，求△MON（O为坐标原点）面积的最小值．

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