题目内容

是否存在实数k使方程8x²-6kx+2k+1=0的两根成为一个直角三角形两锐角A，B的正弦值？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．

解：假设存在实数k，使方程的两根是一个直角三角形的两锐角A，B的正弦，
则 A+B= $\text{[math]}$ ，sinA=cosB．∵sin²A+cos²A=1，∴ $\text{[math]}$ ．
∵x₁+x₂= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，x₁•x₂= $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，即9k²-8k-20=0，∴ $\text{[math]}$ ．
当k=2时，原方程为8x²-12x+5=0，△＜0，不合题意．
当 $\text{[math]}$ 时，原方程为 $\text{[math]}$ ，x₁•x₂＜0，不合题意．
综上知，不存在实数k适合题意．
分析：由题意可得 A+B= $\text{[math]}$ ，sinA=cosB，由 sin²A+cos²A=1，可得 $\text{[math]}$ ，再由一元二次方程根与系数的关系求出 x₁+x₂ 及 x₁•x₂ 的值，从而得到 $\text{[math]}$ ，解出k的值，再检验得出结论．
点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系，诱导公式的应用，一元二次方程根与系数的关系，属于中档题．

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