题目内容
已知函数f(x)=tanx,x∈(0,
).若x1、x2∈(0,
),且x1≠x2，证明:
［f(x1)+f(x2)］＞f(
).
证法一：tanx1+tanx2=+
=
=
=
.
因为x1、x2∈(0,
)，x1≠x2，所以2sin(x1+x2)＞0，cosx1cosx2＞0,且0＜cos(x1-x2)＜1.
从而有0＜cos(x1+x2)+cos(x1-x2)＜1+cos(x1+x2),
由此得tanx1+tanx2＞
,
(tanx1+tanx2)＞tan
,即
［f(x1)+f(x2)］＞f(
).
证法二：设t1=tan
,t2=tan
.
因x1、x2∈(0,
),x1≠x2，故
,
∈(0,
),
≠
.
从而0＜t1,t2＜1,且t1≠t2,tanx1+tanx2-2tan
=
+
-2·
=
.
由于t1+t2＞0,(t1-t2)2＞0,1-t12＞0,1-t22＞0,1-t1t2＞0,
即tanx1+tanx2-2tan
＞0,
所以
(tanx1+tanx2)＞tan
,
［f(x1)+f(x2)］＞f(
).
练习册系列答案
相关题目
(t∈R)在［1,2］上的最小值为
,P1(x1,y1),P2(x2,y2)是函数f(x)=
图象上不同两点,且线段P1P2的中点P的横坐标为
.
)(m∈N*,n=1,2,…,m),求数列{an}的前m项和Sm.