Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=2ⁿ+a
（1）当a=1时，求{a_n}的通项公式
（2）若数列{a_n}是等比数列，求a的值
（3）在（2）的条件下，求a₁²+a₂²+a₃²+…+a_n²的和．

Answer 1

分析：（1）利用an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

，可求数列的通项；
（2）先根据等比数列的前n项的和，分别求得a₁，a₂，a₃的值，进而利用等比数列的等比中项求得a；
（3）数列{a_n}是以1为首项，2为公比的等比数列，新数列是以1为首项，4为公比的等比数列，故可求数列的和．

解答：解：（1）n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n-1
n=1时，a₁=S₁=2+a=3，不满足上式
故an=

3，n=1 2n-1，n≥2

（2）a₁=2¹+a=2+a，a₂=S₂-S₁=2，a₃=S₃-S₂=4，
∵数列{a_n}是等比数列，
∴（2+a）•4=4，求得a=-1
（3）数列{a_n}是以1为首项，2为公比的等比数列，
∴a₁²+a₂²+a₃²+…+a_n²=1+4+16+…+（2^n-1）²=

1×(1-4n)

1-4

=

1

3

(4n-1)

点评：本题以数列的前n项的和为载体，考查数列的通项，考查等比数列的前n项的和，以及等比数列的等比中项的知识点．注重对等比数列基础知识的考查．