Question

双曲线，一焦点到其相应准线的距离为，过点A（0，-b），B（a，0）的直线与原点的距离为。
（1）求该双曲线的方程；
（2）是否存在直线与双曲线交于相异两点C，D，使得C，D两点都在以A为圆心的同一个圆上，若存在，求出直线方程；若不存在说明理由。

Answer 1

解：（1）因为焦点到其相应准线的距离为，所以，，
又因为过点A（0，-b）B（a，0）的直线与原点的距离为，
可设直线方程为，
由点到直线的距离公式得，
解得：，b=1，
所以双曲线方程为。
（2）假设存在直线与双曲线交于相异两点C，D，使得C，D两点都在以A为圆心的同一个圆上，
则，化简，得，
所以，，
因为C，D两点都在以A为圆心的同一个圆上；所以有|AC|=|AD|，
所以直线CD的中点坐标为，
因为AM⊥CD，
所以，解得，
所以，直线的方程为。