Question

双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a，b＞0），一焦点到其相应准线的距离为

1

2

，过点A（0，-b），B（a，0）的直线与原点的距离为

3

2

，
（1）求该双曲线的方程；
（2）是否存在直线y=kx+5 （k≠0）与双曲线交于相异两点C，D，使得 C，D两点都在以A为圆心的同一个圆上，若存在，求出直线方程；若不存在说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据焦点到其相应准线的距离求得b和c的关系，设出直线AB的方程，进而利用点到直线的距离公式求得a和b，则双曲线的方程可得．
（2）假设直线存在，把直线与双曲线方程联立消去y，根据韦达定理表示出x₁+x₂和y₁+y₂，根据C，D两点都在以A为圆心的同一个圆上推断出|AC|=|AD|，进而求得CD中点的表达式，根据AM⊥CD，分别表示出其斜率，乘积为-1求得k，则直线方程可得．

解答：解：（1）因为焦点到其相应准线的距离为

1

2

，所以

b2

c

=

1

2

；
又因为过点A（0，-b），B（a，0）的直线与原点的距离为

3

2

；
可设直线方程为

x

a

-

y

b

=1，
由点到直线的距离公式得

ab

a2+b2

=

3

2

，解得a=

3

，b=1，
所以双曲线方程为

x2

3

-y2=1
（2）假设存在直线y=kx+5（k≠0，）与双曲线交于相异两点C，D，使得C，D两点都在以A为圆心的同一个圆上
∴

y=kx+5 x2 3 -y2=1

得（1-3k²）x²-30kx-78=0；可得

△＞o x1+x2= 30k 1-3k2 y1+y2= 30k2 1-3k2 +10

因为C，D两点都在以A为圆心的同一个圆上；所以有|AC|=|AD|，
所以直线CD的中点坐标为M(

15k2

1-3k2

，

5

1-3k2

)
因为AM⊥CD，所以

5 1-3k2 +1

15k 1-3k2

=-

1

k

，解得k=±

7

，
所以直线方程为：y=±

7

x+5

点评：本题主要考查了双曲线的标准方程和直线与双曲线的关系．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．运算能力的考查．