题目内容

已知焦点在x轴上的椭圆C过点（0，1），且离心率为 $数学公式$ ，Q为椭圆C的左顶点．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）已知过点 $数学公式$ 的直线l与椭圆C交于A，B两点．
（ⅰ）若直线l垂直于x轴，求∠AQB的大小；
（ⅱ）若直线l与x轴不垂直，是否存在直线l使得△QAB为等腰三角形？如果存在，求出直线l的方程；如果不存在，请说明理由．

解：（Ⅰ）设椭圆C的标准方程为 $\text{[math]}$ （a＞b＞0），且a²=b²+c²．
由题意，椭圆C过点（0，1），离心率为 $\text{[math]}$ ，可知：b=1， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．…（2分）
所以a²=4．
所以，椭圆C的标准方程为 $\text{[math]}$ ．…（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得Q（-2，0）．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
（ⅰ）当直线l垂直于x轴时，直线l的方程为x=- $\text{[math]}$ ．
由 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$
即A（- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），B（- $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ）（不妨设点A在x轴上方）．…（5分）
则直线AQ的斜率1，直线BQ的斜率-1．
因为直线AQ的斜率与直线BQ的斜率为-1，所以AQ⊥BQ，所以∠AQB= $\text{[math]}$ ．…（6分）
（ⅱ）当直线l与x轴不垂直时，由题意可设直线AB的方程为y=k（x+ $\text{[math]}$ ）（k≠0）．
由 $\text{[math]}$ 消去y得：（25+100k²）x²+240k²x+144k²-100=0．
因为点A（- $\text{[math]}$ ，0）在椭圆C的内部，显然△＞0．
$\text{[math]}$ …（8分）
因为 $\text{[math]}$ =（x₁+2，y₁）， $\text{[math]}$ =（x₂+2，y₂），y₁=k（x₁+ $\text{[math]}$ ），y₂=k（x₂+ $\text{[math]}$ ），
所以 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =（x₁+2）（x₂+2）+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+（2+ $\text{[math]}$ ）（x₁+x₂）+4+ $\text{[math]}$
=（1+k²）× $\text{[math]}$ +（2+ $\text{[math]}$ ）（ $\text{[math]}$ ）+4+ $\text{[math]}$ =0
所以 $\text{[math]}$ ．
所以△QAB为直角三角形．…（11分）

假设存在直线l使得△QAB为等腰三角形，则|QA|=|QB|．
取AB的中点M，连接QM，则QM⊥AB．
记点（- $\text{[math]}$ ，0）为N．
另一方面，点M的横坐标 $\text{[math]}$ ，
所以点M的纵坐标 $\text{[math]}$ ．
所以 $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ ）•（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ≠0
所以 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 不垂直，矛盾．
所以当直线l与x轴不垂直时，不存在直线l使得△QAB为等腰三角形．…（13分）
分析：（Ⅰ）设椭圆C的标准方程为 $\text{[math]}$ （a＞b＞0），根据a²=b²+c²，椭圆C过点（0，1），离心率为 $\text{[math]}$ ，即可求得椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得Q（-2，0）．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
（ⅰ）当直线l垂直于x轴时，直线l的方程为x=- $\text{[math]}$ ，与椭圆方程联立，求得A，B的坐标，可得直线AQ的斜率、直线BQ的斜率-1，即可求得∠AQB的大小；
（ⅱ）当直线l与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=k（x+ $\text{[math]}$ ）（k≠0），与椭圆方程联立，利用韦达定理及向量的数量积，可得△QAB为直角三角形，假设存在直线l使得△QAB为等腰三角形，计算 $\text{[math]}$ ，即可得到结论．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识，解题的关键是直线与椭圆联立，利用韦达定理进行求解．