题目内容

如果函数f（x）=cos（2x+φ）的图象关于点 $数学公式$ 成中心对称，且 $数学公式$ ，则函数 $数学公式$ 为

A.
奇函数且在 $数学公式$ 上单调递增
B.
偶函数且在 $数学公式$ 上单调递增
C.
偶函数且在 $数学公式$ 上单调递减
D.
奇函数且在 $数学公式$ 上单调递减

D
分析：2× $\text{[math]}$ +∅=kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z，再由 $\text{[math]}$ ，可得∅=- $\text{[math]}$ ，从而求得函数f（x）的解析式，从而得到f（x+3）的解析式．
解答：函数f（x）=cos（2x+φ）的图象关于点 $\text{[math]}$ 成中心对称，
∴2× $\text{[math]}$ +∅=kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z．
再由 $\text{[math]}$ ，可得∅=- $\text{[math]}$ ，故函数f（x）=cos（2x- $\text{[math]}$ ），
故 $\text{[math]}$ =cos[2（x+ $\text{[math]}$ ）- $\text{[math]}$ ]=cos（2x+ $\text{[math]}$ ）=-sin2x，
故函数 $\text{[math]}$ 为奇函数且在 $\text{[math]}$ 上单调递减，
故选D．
点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+∅）的部分图象求函数的解析式，余弦函数的对称性，属于中档题．

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