Question

在R上定义运算?：p?q=-

1

3

(p-c)(q-b)+4bc（b、c为实常数）．记f1(x)=x2-2x，f₂（x）=x-2b，x∈R．令f（x）=f₁（x）?f₂（x）．
（Ⅰ）如果函数f（x）在x=1处有极值-

4

3

，试确定b、c的值；
（Ⅱ）记g（x）=|f^′（x）|（-1≤x≤1）的最大值为M．若M≥k对任意的b、c 恒成立，试示k的最大值．

Answer 1

分析：（I）由题意得到f（x）的解析式，求出f′（x）因为在x=1处有极值得到f（1）=-

4

3

，f′（1）=0求出b、c即可；
（II）根据题意得到g（x）的解析式，利用已知求出g（x）的最大值M，利用M≥k列出不等式求出k的取值范围即可．

解答：解：（I）依题意：已知f₁（x）=x²-2c，f₂（x）=x-2b，f（x）=f₁（x）f₂（x）．
得f(x)=-

1

3

x3+bx2+cx+bc，
解

f(1)=- 4 3 f/(1)=0

得

b=1 c=-1

或

b=-1 c=3

．
若

b=1 c=-1

，f(x)=-

1

3

x3+x2-x-1，
f′（x）=-x²+2x-1=-（x-1）²≤0，f（x）在R上单调递减，
在x=1处无极值；
若

b=-1 c=3

，f(x)=-

1

3

x3-x2+3x-3，
f′（x）=-x²-2x+3=-（x-1）（x+3），直接讨论知，
f（x）在x=1处有极大值，所以

b=-1 c=3

为所求．
（II）g（x）=|-（x-b）²+b²+c|．
若|b|＞1，则f′（x）在[-1，1]是单调函数，
因为|b|＞1，所以函数y=f′（x）的对称轴x=b位于区间[-1，1]之外，
所以f′（x）在[-1，1]上的最值在两端点处取得．
故M应是g（1）和g（-1）中较大的一个．
假设M≤2，则g（-1）=|-1-2b+c|≤2，
g（1）=|-1+2b+c|≤2，
将上述两式相加得：4≥|-1-2b+c|+|-1+2b+c|≥4|b|＞4，导致矛盾，
所以M＞2．
若|b|≤1，f′（x）在x=b∈[-1，1]取极值，
则M=max{|f′（-1）|，|f′（1）|，|f′（b）|}，f′（b）-f′（±1）=（b?1）²．
若-1≤b＜0，f′（1）≤f′（-1）≤f′（b）
M=max{|f/(1)|，|f/(b)|}≥

1

2

|f/(1)-f/(b)|=

1

2

(b-1)2＞

1

2

；
若0≤b≤1，f′（-1）≤f′（1）≤f′（b），
M=max{|f′（-1）|，|f′（b）|}≥

1

2

|f/(-1)-f/(b)|=

1

2

(b+1)2≥

1

2

．
当b=0，c=

1

2

时，g(x)=|f/(x)|=|-x2+

1

2

|在[-1，1]上的最大值M=

1

2

．
所以，k的取值范围是(-∞，

1

2

]．k的最大值为：

1

2

．

点评：本小题主要考查导数几何意义、导数研究函数极值、函数恒成立问题、绝对值不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．