Question

设函数f(x)=2x³-3(a-1)x²+1,其中a≥1.

(1)求f(x)的单调区间;

(2)讨论f(x)的极值.

Answer 1

解：由已知,得f′(x)=6x［x-(a-1)］.令f′(x)=0,解得x₁=0,x₂=a-1.

（1）当a=1时,f′(x)=6x²,f(x)在(-∞,+∞)上单调递增;

当a＞1时,f′(x)=6x［x-(a-1)］,f′(x),f(x)随x的变化情况如下表:

x	(-∞,0)	0	(0,a-1)	a-1	(a-1,+∞)
f′(x)	+	0	-	0	+
f(x)		极大值		极小值

 

从上表,可知函数f(x)在(-∞,0)上单调递增;在(0,a-1)上单调递减;在(a-1,+∞)上单调递增.

(2)由(1),知当a=1时,函数f(x)没有极值;当a＞1时,函数f(x)在x=0处取得极大值1,在x=a-1处取得极小值1-(a-1)³.